про первое ...
Руководство Камчатского края проверило взаимодействие оперативных служб аэропорта «Елизово» ... - аэропорт называется "Елизово" - имя собственное, как в аэропорту толмачевО в новосибирске или домодедовО в москве или орлИ в париже :-).
про первое упоминание Елиз... вроде никто особо и не спорит...
про второе...
Затем реанимобили доставили одного из них в больницу Елизова, ... -- из википедии
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B2_%D1%80%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BC_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B5 "Название географического объекта, употреблённое в функции приложения с родовыми географическими терминами город, село, деревня, хутор, река и т. п., согласуется с определяемым словом, то есть склоняется, если топоним русский, славянский или давно заимствован и освоен русским языком[1].
Правильно: в городе Москве[2] (не в городе Москва), в городе Санкт-Петербурге, у города Ишимбая[3] (не у города Ишимбай), из города Киева, над городом Парижем; в деревню Петровку, под хутором Михайловским; на острове Валааме, на берегу реки Волги, на Зелёном мысе (не на мысе Зелёный), долина Сухого ручья (не долина ручья Сухой), на Русском острове (не на острове Русский).
Географические названия, употребляемые в сочетании с родовым словом, обычно не склоняются, если:
название по своей форме соответствует множественному числу: в городе Великие Луки, в городе Бережаны;
род обобщающего термина не совпадает с родом имени собственного: в селе Углянец, на озере Байкал.
Последнее не распространяется на сочетания со словом город. Правильно: из города Самары, в городе Москве[2]. Вариант в городе Москва не соответствует литературной норме[1]."
хотя почему не говорят в Эссе не знаю, также как и в Хаилино, и Бородино.. вот в этом словарике профессора по этому вопросу сруться
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1575843 , куда нам, плебсу до них.. :-)